监理工程师是建筑行业中的重要角色，负责监督工程项目的设计、施工和验收等环节，确保工程质量和安全符合规定标准。如果监理工程师不慎遗失了资格证书，就需要及时补办，以免影响正常工作。

首先，监理工程师应向所在地的建设行政主管部门提出补办申请。在申请时，需要填写《监理工程师资格证书补办申请表》，并附上个人身份证明等相关材料。这些材料必须真实、完整，以便于审核人员快速处理申请。

其次，建设行政主管部门在收到申请后，会进行初步审查。审查内容包括核实申请人身份、确认证书的真实性以及检查申请材料是否齐全等。一旦通过初审，相关部门会将申请材料上报至上级主管部门进行审核。

接下来，上级主管部门会对申请材料进行复核。复核通过后，将通知申请人参加必要的培训和考试（如适用）。培训和考试的目的在于确保申请人具备继续担任监理工程师的资格和能力。

培训和考试通过后，申请人将获得新的监理工程师资格证书。此时，整个补办流程基本完成。需要注意的是，由于涉及到多个部门的审批和可能存在的考试环节，整个补办过程可能会花费一定的时间。具体时间因地区而异，但通常会在几周到几个月之间。

在整个补办过程中，监理工程师应保持与相关行政部门的沟通，及时了解补办进度，并在必要时补充所需材料。同时，为了避免类似情况的发生，监理工程师应妥善保管好自己的资格证书，并定期进行核查。

监理工程师补办资格证书的过程虽然可能耗时较长，但只要按照规定的程序和要求操作，最终都能顺利完成。监理工程师应重视资格证书的管理，确保其有效性和合法性，以维护自身权益和职业形象。