什么是圆系方程

2024-01-16 00:57:11 69次

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什么是圆系方程，麻烦给回复

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2024-01-16 00:57:11

²圆系方程，是个大概念。

但我们常常使用的，不外乎以下几种。第一种：圆心为定点C(a,b)，半径r是变化的。(x-a)²＋(y-b)²＝r².第二种：半径是定长r,圆心不定。第三种：圆与某个坐标轴相切。半径固定或者变化。第四种：圆与某两条直线（包括坐标轴）相切。半径不定。第五种：圆心在某条直线上（或者曲线）运动。半径固定。等等。其实我们没有必要去对它进行【归类】，见招拆招就行。一般地，【过两个圆的交点的圆，构成了一族圆，构成了此类的”圆系方程”】。已知圆1：x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0与已知圆2：x²＋y²＋dx＋ey＋f＝0相交于两点A,B。则过A,B的圆的方程可以写为（x²＋y²＋Dx＋Ey＋F）＋λ（x²＋y²＋dx＋ey＋f）＝0的形式。其中λ为参数。这时候，如果再加上一个其他的条件，就可以制造出一道很不错的题目。如：求以相交两圆x²＋y²＋4x＋y＋1＝0与x²＋y²＋2x＋2y＋1＝0的公共线为直径的圆的方程。

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2024-01-16 00:57:11

圆系方程就是过已知两个圆的交点的圆系方程都能用这个式子表达。

圆的一般方程：

圆C1：x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0。

圆C2：x^2+y^2+D2x+E2y+F2=0。

x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ(x^2+y^2+D2x+E2y+F2)=0 (λ≠-1)。

首先这个方程代表一个圆。

其次，C1C2的交点A，B满足这个方程。这是因为A在C1上，所以A的坐标代进C1的式子一定等于0。

而A也在C2上，所以A的坐标代进C2的式子一定等于0。

把C1的方程加上λ倍的C2的方程就是上面的圆系方程，所以A在圆系方程代表的圆上。同理，B也在圆系方程代表的圆上。

所以圆系方程代表过C1C2交点的圆的方程。

如果没有λ，就只能表示所有相交圆中的一个，而加入一个λ后只要λ取遍所有实数就可以表示完所有的圆，当然只要知道了这个圆经过的相交点以外的任何一个点就可以确定λ。

λ就是一个参数，是一个可以改变的值

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