线面垂直的判定定理及其证明

2024-01-16 07:39:44 265次

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2024-01-16 07:39:44

判定定理：如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。

证明：设有一直线l与面S上两条相交直线AB、CD都垂直，则l⊥面S 假设l不垂直于面S，则要么l∥S，要么斜交于S且夹角不等于90。当l∥S时，则l不可能与AB和CD都垂直。这是因为当l⊥AB时，过l任意作一个平面R与S交于m，则由线面平行的性质可知m∥l ∴m⊥AB 又∵l⊥CD ∴m⊥CD ∴AB∥CD，与已知条件矛盾。当l斜交S时，过交点在S内作一直线n⊥l，则n和l构成一个新的平面T，且T和S斜交（若T⊥S，则n是两平面交线。由面面垂直的性质可知l⊥S，与l斜交S矛盾）。 ∵l⊥AB ∴AB∥n ∵l⊥CD ∴CD∥n ∴AB∥CD，与已知条件矛盾。综上，l⊥S

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