柯西不等式的巧妙证明

2024-01-16 11:53:41 109次

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2024-01-16 11:53:41

柯西不等式是数学中的一种重要不等式，它可以用于证明很多数学问题。

以下是柯西不等式的一种巧妙证明方法：假设有两个向量a和b，它们的长度分别为|a|和|b|，它们之间的夹角为θ。我们可以将向量a和b分别表示为：a = |a|cosθ i + |a|sinθ jb = |b|cosθ i + |b|sinθ j其中i和j分别是x轴和y轴的单位向量。我们可以将a和b的点积表示为：a·b = |a||b|cosθ我们可以将a·b表示为一个平行四边形的面积。我们可以将这个平行四边形分成两个三角形。我们可以发现，这两个三角形的面积之和等于平行四边形的面积，即：|a||b|sinθ ≤ |a||b|这就是柯西不等式的巧妙证明方法。

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2024-01-16 11:53:41

Cauchy不等式的形式化写法就是：

记两列数分别是ai, bi，则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.

令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)

则恒有 f(x) ≥ 0.

用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.

于是移项得到结论。

还可以用向量来证.

m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)

mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosX．

因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2

这就证明了不等式．

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