求罗尔定理的证明

2024-01-16 12:30:39 68次

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求罗尔定理的证明求高手给解答

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2024-01-16 12:30:39

罗尔定理的证明

证明：因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：

若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理推知：f'(ξ)=0。

另证：若 M>m ，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f'(ξ+)

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2024-01-16 12:30:39

1 罗尔定理的证明是存在的。

2 罗尔定理是基于连续函数的中值定理的推论，连续函数在闭区间上取得最大值和最小值，而在最大值和最小值处的导数为零，因此在这些点上可以应用中值定理得到导数为零的点，即罗尔定理中的存在一个介于两个零点之间的点。

3 罗尔定理的证明可以通过对连续函数的定义和中值定理的推导来展开，需要使用到微积分中关于导数和零点的相关知识。

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2024-01-16 12:30:39

1 罗尔定理是一个数学定理，用于证明在一定条件下，某个函数的导数在某个点等于0，那么在该点附近必定存在一个重要的点，使得该函数在该点处取得极值。

2 罗尔定理的证明基于三个条件：首先，该函数在该区间内是连续的;其次，该函数在该区间内是可导的;最后，该函数在该区间的两个端点上的函数值相等。

3 基于这三个条件，我们可以采用反证法进行证明。我们假设在该函数的某个导数为0的点处没有极值，那么该函数必然是单调的，导致其在区间内只有一个根，与该函数在区间端点处函数值相等的条件相矛盾，因此该假设是错误的，该函数在该点附近必定存在一个重要的点。因此，罗尔定理得证。