三角形的重心公式及证明

2024-01-16 14:15:54 179次

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三角形的重心公式及证明急求答案，帮忙回答下

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楠楠家庭教育

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2024-01-16 14:15:54

重心是三角形三边中线的交点，三线交一可用燕尾定理证明。

证明过程又是塞瓦定理的特例。已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。求证：F为AB中点。证明：根据燕尾定理，S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，∴S△AOC=S△BOC，再应用从中点得AF=BF，命题得证。重心的几条性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离的和最小。 (等边三角形）4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系—横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：（z1+z2+z3）/35、三角形内到三边距离之积最大的点。赞同一本官方旗舰店广告一本【小学知识大盘点】小学语数英知识点全盘梳理名校全国通用

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2024-01-16 14:15:54

三角形的重心公式如下：

设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，则三角形三条中线交于点G，G为三角形的重心，其坐标为：

G（（x1+x2+x3)/3，（y1+y2+y3)/3）

证明过程如下：

三角形三条中线交于一点时，这个交点就是三角形的重心，也就是三边的中点与对应顶点连线共同交于一点。

以AB的中点O1为例，连接OC。假设AB与OC的交点为E，那么OE=1/2*OB，CE=1/2*BC，因此OE和CE构成了三角形OCE的中线，OE和CE交于点G。

同理，以AC的中点O2为例，连接OB，假设AC和OB的交点为D，那么OD=1/2*OA，BD=1/2*AB，因此OD和BD构成了三角形ODB的中线，OD和BD交于点G。

最后以BC的中点O3为例，连接OA，假设BC和OA的交点为F，那么OF=1/2*OC，AF=1/2*AC，因此OF和AF构成了三角形OAF的中线，OF和AF交于点G。

由此可见，三角形的三条中线都交于同一点G。

因此，三角形的重心坐标为（（x1+x2+x3)/3，（y1+y2+y3)/3）。

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2024-01-16 14:15:54

1、三角形的三条边的中线交于一点。

2、该点叫做三角形的重心。

3、三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

4、（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）

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