1. Geometric Proof:平方差公式可以通过几何方式来证明。
假设有一长方形，其长为a+b，宽为a。现在将其分成两个正方形和两个矩形，如下所示：其中，绿色正方形的边长为a，红色正方形的边长为b，两个黄色矩形的长和宽分别为a和b。因此，长方形的面积可以表示为：(a+b)*a = a^2 + ab + ab + b^2化简得到：a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2这就是平方差公式。
2. Algebraic Proof:平方差公式也可以通过代数方式来证明。从(a+b)^2中展开，得到：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2将2ab移项，得到：a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab这也是平方差公式。
3. Completing the Square Proof:平方差公式也可以通过完全平方方式来证明。从a^2 - 2ab + b^2中提取出完全平方，得到：(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2移项，得到：a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab这也是平方差公式。
4. Trigonometric Proof:平方差公式可以通过三角函数来证明。假设有一个直角三角形，其中一个角度为θ，斜边长度为c，临边长度为a，对边长度为b。根据三角函数的定义，有：sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1将sin^2(θ)和cos^2(θ)分别乘以c^2，得到：a^2/c^2 + b^2/c^2 = 1移项，得到：a^2 + b^2 = c^2这也是平方差公式。
5. Inductive Proof:平方差公式也可以通过归纳法来证明。假设对于任意的正整数n，平方差公式都成立。现在考虑n+1的情况，即：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2将a和b分别替换为a'+c和b'+d，其中a'、b'、c和d都是正整数。展开得到：(a'+c+b'+d)^2 = (a'+c)^2 + 2(a'+c)(b'+d) + (b'+d)^2化简得到：a'^2 + 2a'c + c^2 + 2a'b' + 2ab' + 2cd + b'^2 + 2b'd + d^2 = a'^2 + 2a'b' + 2a'c + 2b'c + 2cd + b'^2 + 2b'd + d^2移项得到：a'^2 + b'^2 + (2a'c + 2b'c) = a'^2 + b'^2 + (2a'b' + 2cd + 2a'c + 2b'c)消去相同项，得到：2ab + 2cd = 2a'c + 2b'd因此，平方差公式对于n+1也成立。由归纳法可知，平方差公式对于所有正整数都成立。
