下面是一个简单的例子：设f(x)在区间(a,b)上连续可导，且f(a)=f(b)=0，则对于任意x\\in(a,b)，有：f(x)\\gt0证明：因为f(a)=f(b)=0，所以f(x)在区间(a,b)上存在一个极值点x_0，使得f^\\prime(x_0)=0。
根据导数的定义，f^\\prime(x)表示函数f(x)在点x处的切线斜率。因为f^\\prime(x_0)=0，所以函数f(x)在点x_0处的切线是水平的，即函数f(x)在点x_0处的切线方程为y=f(x_0)。由于函数f(x)在区间(a,b)上连续可导，所以函数f(x)在点x_0处的导数存在。根据导数的定义，函数f(x)在点x_0处的导数为：f^\\prime(x_0)=\\lim_{h\ o0}\\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}因为函数f(x)在点x_0处的切线方程为y=f(x_0)，所以函数f(x)在点x_0处的切线斜率为f^\\prime(x_0)。根据导数的几何意义，函数f(x)在点x_0处的切线斜率为函数f(x)在点x_0处的导数。因此，f^\\prime(x_0)=0。由于f(a)=f(b)=0，所以f(x)在区间(a,b)上存在一个极值点x_0，使得f^\\prime(x_0)=0。根据导数的性质，当函数在某个点处的导数为0时，函数在该点处可能取得极大值或极小值。假设函数f(x)在点x_0处取得极大值，则对于任意x\\in(a,b)，有：f(x)\\leq f(x_0)因为f(a)=f(b)=0，所以f(x)\\leq0，即f(x)\\lt0。假设函数f(x)在点x_0处取得极小值，则对于任意x\\in(a,b)，有：f(x)\\geq f(x_0)因为f(a)=f(b)=0，所以f(x)\\geq0，即f(x)\\gt0。综上所述，对于任意x\\in(a,b)，有f(x)\\gt0。
