三点成像规律

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点与直线是射影平面上的基本元素,平面射影几何主要研究点与直线以及它们的相互关系,统称为结合关系。

在一个仅涉及点与直线以及它们的结合关系的命题中,把点改成直线,直线改成点,结合关系也作相应的改变。例如,两点连线中点改成直线,直线改成点得到:两直线交点;又例如,三点共线改成三直线共点,这样改变以后得到一个新的射影几何命题,称为原命题的对偶命题,下面是一些互为对偶的命题 :(1)两点决定一直线,即过两不同点有且只有一条直线。

(1)'两直线有且只有一个交点。

(2)由不共线的三点及它们的两两连线构成的图形叫三点形。

(2)'由不交于一点的三直线及它们的两两交点构成的图形叫三线形。三点形(3)射影坐标下,三点A,B,C共线的充要条件是。三点形三点形(3)'射影坐标下,三直线共点的充要条件是。

(4)如果两个三点形的对应顶点连线交于一点,则它们的对应边交点共线。

(4)'如果两个三线形的对应边交点共线,则它们的对应顶点连线共点。

(5)四点中总有三点共线(不成立)。

(5)'四直线中总有三直线共点(不成立)。从上面可以看出,如果一个射影几何的关于点,直线以及它们的结合关系的命题是真实的,它的对偶命题也是真实的,对偶命题是相互的,即如果命题B是A的对偶命题,那么A也是B的对偶命题。上述对偶命题中(4)是Desargues定理,而(4)'实际上是它的逆定理。在射影几何的对偶中,点与直线是最基本的对偶元素,“点在直线上”与“直线过点”是最基本的对偶关系。对偶原理在平面射影几何里,如果一个关于点和直线的结合关系的命题成立,则它的对偶命题也成立。射影几何可以用公理法来定义并讨论,对偶原理也可用公理法证明。一种射影映射——对射,它把点变成直线,直线变成点,而点与直线的结合关系仍能保持,利用对射可以证明对偶原理,在射影坐标下,计算两点连线与两直线交点的方法、判断三点共线与三线共点的方法都是一样的,只要把点与直线的坐标互换 。

其他答案

利用在三维世界坐标中不相交的平行线,由于透视原理在二维图像平面内会相交于灭点的原理,提出了基于眼角线与嘴巴线的长度比例关系的人脸姿态算法;

其缺点是当旋转角度偏大时,会无法求得外眼角的坐标,从而使算法失效的方法是建立人脸结构模型,对图像进行归一化处理,并找到图像特征点位置信息与人脸姿态之间的对应关系据此计算出人脸姿态;

该方法的缺点在于人脸到摄像机的距离必须是固定的,没有考虑任意位置的人脸姿态估计。

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