方差与期望的转换公式推导

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方差与期望的转换公式推导,在线求解答

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方差与期望的转换公式通常指的是马尔可夫不等式(Markov's Inequality),它表达了一个随机变量的期望与其方差之间的关系。

马尔可夫不等式的数学表达式如下:对于任意实数 x,都有 E(X) >= x * Var(X) 或者 E(X) <= x * Var(X)其中,E(X) 表示随机变量 X 的期望,Var(X) 表示随机变量 X 的方差。这个公式的推导过程实际上很简单。我们先来看期望的定义:E(X) = Σ[x * P(X=x)],其中 x 是随机变量 X 的取值,P(X=x) 是随机变量 X 取值为 x 的概率。然后,我们再来看方差的定义:Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2,其中 E(X^2) 是随机变量 X 的平方的期望。如果我们将 X 替换为 X-E(X),那么 X^2 就变成了 (X-E(X))^2,这是一个二次函数,其期望为 Var(X)。所以,我们有 Var(X) = E((X-E(X))^2)。因此,马尔可夫不等式实际上是来自于这样一个事实:对于任意实数 x,都有 (x-E(X))^2 >= 0,也就是说,(X-E(X))^2 的期望总是大于等于 0。所以,我们有 Var(X) = E((X-E(X))^2) >= 0。另一方面,根据期望的线性性质,我们有 E(X) = E(X-E(X) + E(X)) = E(X-E(X)) + E(X)。因此,我们有 E(X) >= x * Var(X),其中 x 是任意实数。这就是马尔可夫不等式的推导过程。

其他答案

方差和期望的转换公式是DX=E(X^2-2XEX+(EX)^2),方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量,概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望(即均值)之间的偏离程度。

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