换底公式，又称为指数换底公式，是用于在数学中把对数转换为同底的形式。
在高中阶段，我们通常使用两种不同的对数表示法：以10为底的常用对数（即lg）和以无理数e为底的自然对数（即ln）。换底公式提供了这两种对数之间的转换关系。换底公式如下：如果a > 0 且 a ≠ 1，那么ln (a^x) = x * ln(a)或lg (a^x) = x * lg(a)（其中x是任意实数）证明如下：首先，我们证明自然对数（ln）的换底公式。令 y = ln(a^x)，那么 e^y = a^x。由于e的定义是 ex = x^x，所以我们可以得到：e^y = e^(x * ln(a)) = (e^(ln(a)))^x = a^x所以，y = x * ln(a)。这就证明了自然对数换底公式。其次，我们证明常用对数（lg）的换底公式。令 y = lg(a^x)，那么 10^y = a^x。由于10的定义是 10^x = 10x，所以我们可以得到：10^y = 10^(x * lg(a)) = (10^(lg(a)))^x = a^x所以，y = x * lg(a)。这就证明了常用对数换底公式。综上所述，我们成功地证明了换底公式。
