一、定义不同1.公理是大家都认同的道理。
“公”就是公共、大家的意思，在人类生产、生活中过程中，经过人类长期反复实践及验证，基于依据人类理性的不证自明的基本事实，不需要再加证明的基本命题，就是“公理”。
2.定理是经过证明的肯定对的道理。“定”就是肯定、一定的意思，“是经过合理的逻辑推理及证明等方法，得到的真命题叫作“定理”。
二、能否被证明不同1.公理不能被证明，因为这是大家在长期的生活中公认的一种道理，不能也不需要被证明。所以公理是不需要认证的，是大家公认的，可以直接拿来用的。
2.定理需要被证明。比如数学、物理中的很多公式、定理等都需要证明它是对的，而且也是可以被证明的。一个推理的过程，允许从公理中引出、推出、证明出新定理和其他之前发现的定理。也就是说公理可以推出来定理。
三、形成方式不同1.公理是通过人们的反复使用和公认而形成的，不需要被推理。公理是经过人类长期反复的实践检验是真实的，大家普遍公认的、不需要由其他判断加以证明、且也不能由其他判断证明的命题和原理。
2.定理是通过用推理的方法得到的。真命题叫作“定理”，这种推理的方法也叫“证明”，是一种已经证明具有正确性、可以作为原则或规律的命题或公式。
四、适用领域不同1.公理广泛存在于各种各样的学科领域之中，除了数学、物理、化学这样的理科领域，公理也存在于经济、法学、新闻、文学、历史等的人文社科领域。
2.定理的适用领域相对公理较小，定理一般只存在于可以被推理和证明的学科领域，也就是理科性质的领域，而文科性质的领域往往不需要严密的推理论证，因此也基本没有什么定理。
五、所属领域不同1.公理是一个相对广泛的科学领域，和定理不同，公理的所属领域不仅限于逻辑学，一个公理不能被其他公理推导出来，否则它就不是起点本身，而是能够从起点得出的某种结果—可以干脆被归为定理了。
2.定理是一个逻辑学领域的词汇，定理是经过受逻辑限制的 证明为真的叙述。一般来说，在数学中，只有重要或有趣的陈述才叫定理。证明定理是数学的中心活动。
六、公理介绍1.公理是依据人类理性和愿望发展起来而共同遵从的道理，也可以是经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的命题。
2.公理示例：过两点有且只有一条直线；两点之间线段最短；过一点有且只有一条直线和已知直线垂直等等。
七、定理介绍1.定理是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题。在数学里，定理是指在既有命题的基础上证明出来的命题，定理的证明通常被诠释为对其真实性的验证。由此可见，定理的概念基本上是演绎的，有别于其他需要用实验证据来支持的科学理论。
2.定理示例：欧拉定理：三角形的外心、心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上；勾股定理：勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
