曲线运动公式半径推导

2024-01-18 03:47:17 61次

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2024-01-18 03:47:17

曲率半径的公式为κ=lim|Δα/Δs|。

ρ=|[(1+y'^2)^(3/2)]/y\"|，证明如下：1、曲线上某点的曲率半径是该点的密切圆（Osculating circle）的半径。密切圆可能是与曲线在该点相内切的圆中半径最大的（比如在椭圆长轴顶点处），也可能是与曲线在该点相外切的圆中半径最小的（比如在椭圆短轴顶点处），也可能两者都不是。

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2024-01-18 03:47:17

推导如下：

将曲线表示为函数y=f(x)，则曲线在某一点处的曲率k可以表示为：

k = |y''| / (1+y'^2)^(3/2)

其中，y'和y''分别表示曲线在该点处的一阶导数和二阶导数。

曲率半径R可以表示为：

R = 1/k

将曲率k带入上式中，可以得到：

R = (1+y'^2)^(3/2) / |y''|

以上两式中，y'和y''的值可以通过求导得到。例如，在求y=sin(x)在x=π/2处的曲率半径时，可以先求出y'和y''的值：

y' = cos(x)，y'' = -sin(x)

将x=π/2带入上式，可以得到：

y' = 0，y'' = -1

此时，曲率k的值为：

k = |-1| / (1+0^2)^(3/2) = 1

因此，该点处曲线的曲率半径R为：

R = 1/1 = 1

即该点处曲线的局部圆弧半径为1。

总之，曲率半径是描述曲线弯曲程度的重要物理量，其计算公式与曲线的导数相关，可以通过数值计算得到。掌握了曲率半径的计算方法，可以对曲线的形状和特性进行更深入的研究，对于机械、航空航天等领域中的工程问题具有很大的指导意义。

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