在高中阶段，学习独立性检验主要是学习卡方检验。
下面介绍卡方检验的相关公式：假设有两个分类变量 A 和 B，其中 A 有 a 个水平（即分类），B 有 b 个水平（即分类），建立以下假设：原假设 H0：变量 A 和 B 独立。即 A 和 B 不同水平之间没有关系。备择假设 H1：变量 A 和 B 不独立。卡方检验的步骤如下：
1. 计算实际频数（实际观测值）：对于任意一个 A 和 B 的组合（即 A 和 B 的交叉项），统计数据中都应该有相应的实际频数（n）。例如，A 分类变量有 a 个水平，B 分类变量有 b 个水平，则统计数据中应该有 a × b 个观测值，从中统计出每个组合的实际频数。
2. 计算期望频数（理论值）：如果变量 A 和 B 是独立的，则它们之间应该没有任何关系，因此它们的期望频数应该是独立随机分配每个水平时的期望频数。若 A 有 a 个水平，B 有 b 个水平，则每个水平的期望频数为：(a总和×b总和)，从而可算出每个组合的期望频数。
3. 计算卡方值：卡方值的计算公式为：χ²=∑（（Oi-Ei）²/Ei）其中，Oi 表示实际频数，Ei 表示期望频数。
4. 查找 p 值：查找卡方分布表，自由度为 (a-1) × (b-1)，在给定的显著水平（一般为 0.05）下查找对应的 p 值。
5. 结论：如果 p 值小于显著水平，则拒绝原假设，接受备择假设。如果 p 值大于显著水平，则接受原假设。
