公比数列的求和公式可以通过数学归纳法来推导。
当 a_1 = 1a1=1 时,显然 S_n = \\frac{a_1(1-q^n)}{1-q} = 1Sn=1−qa1(1−qn)=1。现在假设当 n=kn=k 时,S_k = \\frac{a_1(1-q^k)}{1-q}Sk=1−qa1(1−qk) 成立,即公比数列的前 kk 项和为 11。那么当 n=k+1n=k+1 时,S_{k+1} = S_k + a_{k+1} = \\frac{a_1(1-q^k)}{1-q} + a_{k+1}Sk+1=Sk+ak+1=1−qa1(1−qk)+ak+1。由归纳假设可知,a_1 = 1a1=1。又因为 a_{k+1} = a_k qak+1=akq。所以,S_{k+1} = \\frac{1-q^k}{1-q} + a_k q = \\frac{1-q^k}{1-q} + \\frac{a_1 q^k}{1-q} = \\frac{a_1(1-q^k)}{1-q} + \\frac{a_1 q^k}{1-q} = \\frac{a_1(1-q^{k+1})}{1-q}Sk+1=1−q1−qk+akq=1−q1−qk+1−qa1qk=1−qa1(1−qk)+1−qa1qk=1−qa1(1−qk+1)。因此,对于所有的 n \\in \\mathbb{N^*}n∈N∗,都有 S_n = \\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}Sn=1−qa1(1−qn)。
