NBS欧米茄公式是计算热力学性质的公式，其中的欧米茄函数在统计物理学中被称为分布函数。
下面是欧米茄公式的推导过程：假设我们有一个由N个粒子组成的封闭物理系统，其能量可以用总的哈密顿量H表示。根据统计物理学中的基本假设，该系统会在所有可能的能级上均匀分布。其概率密度函数可以表示为：P(E) = exp(-βE) / Z，其中β是玻尔兹曼常数的倒数乘以温度，即β = 1 / kT，k是玻尔兹曼常数，T是温度，E是任意一个可能的能级，Z是归一化系数，也被称为配分函数。它可以表示为：Z = ∑ exp(-βE)求和号下面的项涵盖了系统中所有可能的能级。然后，我们可以定义系统的内部能量U，熵S和自由能F如下：U = ∑ E P(E), S = -k ∑ P(E) log[P(E)], F = -kT log(Z)其中第一个式子是内部能量的期望值，第二个式子是熵的定义式，第三个式子是自由能的定义式。接下来，我们可以通过数学运算得到欧米茄公式：F = -kT log(Z) = -kT log(∑ exp(-βE)) = -kT log[∫ exp(-βE) dE]上述积分符号表示对所有可能的能级求和，将粒子能量状态分布函数exp(-βE)乘以单位体积内的状态数量dE，然后再对所有可能的状态求和。为了将积分变成一个求和形式，我们可以采用求和级数展开法，将指数函数在一定范围内近似展开为一个幂级数。假设exp(-βE) = exp[-(h / 2π)² β² 2m (E - ε)] ≈ ∑ a_n (E - ε)^n其中a_n是常数，ε是系统的平均能量，可以看作对单个粒子而言的能量期望值，h是普朗克常数，m是单个粒子的质量。对上式两边取对数，可得：log(exp(-βE)) ≈ log(∑ a_n (E - ε)^n)=-βE + log(a_0) + [a_1 / a_0 (E - ε) + a_2 / a_0 (E - ε)^2 + …]代入欧米茄公式中，我们可以得到F ≈ -kT log(a_0) - kT [a_1 / a_0 <E - ε> + a_2 / a_0 (<E - ε>^2 - <E - ε>^2) + …]其中，<>符号表示对所有可能的能级求和。上述式子可以进一步简化，得到F ≈ F(0) - kT ln[N(<E - ε>/kT)]其中F(0)是当T趋近于0时的自由能，N是粒子数。至此，我们完成了欧米茄公式的推导过程。
