在高中数学中，周期函数是指一个函数在其定义域内存在一个最小正数T，使得对于所有定义域内的x值，都有f(x+T) = f(x)。
要推导一个函数的周期，通常需要利用函数的性质和已知信息。例如，正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)都是周期函数。它们的周期可以通过观察三角恒等式来推导：sin(x + 2π) = sin(x)cos(x + 2π) = cos(x)这表明sin(x)和cos(x)的周期都是2π。再比如，指数函数f(x) = a^x（其中a > 0且a ≠ 1）也有周期性。当a > 1时，函数是单调递增的，没有周期；但当0 < a < 1时，函数是单调递减的，并且有周期性质。通过计算可以发现，f(x + 1) = a^(x + 1) = a^x * a = (a^x) / (a^x) * a = f(x) / f(x) * a = f(x) / (1/a) * a = f(x) / f(-1) * a = f(x - 1)。因此，当0 < a < 1时，指数函数f(x) = a^x的周期是-1。推导周期函数的关键在于理解函数的性质，并找到满足f(x + T) = f(x)的最小正数T。
