怎样证明圆的切线垂直于过切点的半径

2024-01-18 18:11:38 219次

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2024-01-18 18:11:38

初中数学中有一些几何原理看似公理实则定理，比如“两直线平行同位角相等”，比如“两点确定一条直线”，比如“两点之间线段最短”，比如“平行于同一直线的两直线平行”，比如“垂线段最短”……要想证明这些定理，那就只能等自己的“道行”更深一步了，也就是说这些问题很有可能到了大学阶段，通过自己的思考才能给出证明。

切线的定义并不全是按照课本上所说的来的。课本中所说的圆的切线只是众多切线中的一个特例，因为它具备只和圆有一个公共点的性质所以才这样定义。而切线真正的定义是“沿着曲线运动时物体运动的方向”（其实这样说也不严格，切线在高等数学中有专门的定义）。那么题主所闻到的证明，就只能借助高等数学的知识来证明了。等题主上高中学过导数以后，就能多少看懂一点。将圆心与坐标原点重合，则圆的方程是，圆的参数方程是对求导，得就是切线的方向向量，而就是半径方向（坐标是有序数对/数组，因而坐标可以表示一个有方向的量的大小和方向，有方向（指几何空间方向）的量，称作向量或矢量）。由得，圆的切线垂直于过切点的半径。

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2024-01-18 18:11:38

命题如果直线AT是⊙O的切线，A为切点，那么AT和半径OA垂直。

反证法：假设AT与OA不垂直，作OM⊥AT，垂足为M，根据“垂线段最短”的性质，有OM＜OA，这就是说圆心到直线AT的距离小于半径，于是AT就要与⊙O相交，这与AT是⊙O的切线相矛盾。因此，AT与OA垂直。

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2024-01-18 18:11:38

用反证法证明：设直L是圆O的切线，切点为A。假设直线L不垂直于半径OA，那么我们通过圆心O作直线L的垂线，垂足为A‘在前面的点与直线的关系中我们知道：“点到直线上的任意点的距离，以垂线段最短”。所以有OA'<OA。

根据圆的定义，则A‘一定在圆内。由切线的定义：切线L与圆O只有一个公共点A，因此上述假设与本定义矛盾。由此可证L必垂直于OA。

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