单杆模型推导过程：假设杆的长度为$l$, 质量为$m$, 质心到杆一端的距离为$d$, 杆的转动惯量为$I_\\mathrm{rod}$。
1. 给杆施加一个施力$F$，使得杆绕固定点$O$旋转。杆瞬时的角速度为$\\omega$。
2. 在考虑外力时，需要把杆离心力的影响考虑进去。在固定点$O$处，离杆质心距离为$x$的质点的质量为$dm = \\frac{m}{l} dx$，离心力$F_r$的大小为$F_r = \\frac{m}{l} x \\omega^2$。对于杆上任意一点，$F_r$可以分解为水平方向和竖直方向两个分量。在竖直方向分量上的合力为杆的重力$mg$，在水平方向分量上的合力为水平施力$F$。因此水平方向的分力为$F_r \\sin\ heta$，根据小角近似可以得到$\\sin\ heta \\approx \ heta$。竖直方向的分力为$F_r \\cos\ heta - mg$，根据小角近似可以得到$\\cos\ heta \\approx 1$。
3. 根据牛顿第二定律，杆的角加速度$\\alpha$可以通过外力矩和转动惯量求出，即$F_d d = I_\\mathrm{rod} \\alpha$，其中$F_d$为在杆一端施加的力矩，大小为$d F \\sin\ heta$。
4. 根据牛顿第二定律和角动量定理，整个杆的运动可以看成质点和绕质心的角运动的组合。质点的加速度可以通过水平分力求出，即$F_d \\sin\ heta = ma$，而质心做匀加速直线运动。角运动可以通过角动量守恒求出，即$I_\\mathrm{rod} \\omega = \\frac{1}{2} m v^2 + I_\\mathrm{CM} \\omega_\\mathrm{CM}$，其中$v$为质点速度，$I_\\mathrm{CM}$和$\\omega_\\mathrm{CM}$为质心的转动惯量和角速度。可以得到杆的角速度和角加速度分别为：$\\omega = \\frac{2}{3} \\frac{d}{l} \\sqrt{\\frac{g}{l}}$$\\alpha = \\frac{3}{2} \\frac{g}{l} \\frac{d}{l} \\sin\ heta$
5. 如果杆一端固定，例如杆的另一端用铰链连接到地面上，则可以通过受力分析求出杆与支点相接触的反力。双杆模型推导过程：
1. 建立双杆模型时，可以把双杆看成由两个单杆组成。设两个单杆的长度分别为$l_1$和$l_2$，质量分别为$m_1$和$m_2$，质心到杆一端的距离分别为$d_1$和$d_2$，转动惯量分别为$I_{\\rm rod1}$和$I_{\\rm rod2}$。
2. 施加一个施力$F$，使得杆绕固定点$O$旋转。杆的瞬时的角速度为$\\omega$。
3. 对于杆上任意一点，离心力$F_r$可以分解为水平方向和竖直方向两个分量。在竖直方向分量上的合力为杆的重力$mg$，在水平方向分量上的合力为水平施力$F$。因此水平方向的分力为$F_r \\sin\ heta$，竖直方向的分力为$F_r \\cos\ heta - mg$，两个单杆的受力情况类似于单杆，可以分别求出角速度和角加速度。
4. 整个系统的动力学方程可以通过受力分析和角动量守恒求出。受力分析可以得到两个单杆的加速度
