初中数学无理数怎么证明

2024-01-20 02:13:17 222次

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初中数学无理数怎么证明求高手给解答

予昇亲子

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2024-01-20 02:13:17

要证明一个数是无理数，通常采用反证法。

假设这个数是有理数，然后通过逻辑推理找到矛盾，从而证明原假设是错误的，即该数是无理数。例如，要证明√2是无理数：

1. 假设√2是有理数，那么它可以表示为两个互质的正整数a和b的最简比，即√2 = a/b。

2. 对等式两边平方，得到2 = a^2/b^2，进而得到a^2 = 2b^2。

3. 因为a^2是偶数，所以a也必须是偶数（因为奇数的平方是奇数）。设a = 2c，其中c是正整数。

4. 将a替换为2c，得到(2c)^2 = 2b^2，即4c^2 = 2b^2。

5. 简化得到b^2 = 2c^2。

6. 同理由b^2是偶数可知b也是偶数。

7. 这与a和b互质（即它们之间没有公因数除了1）的假设矛盾。8. 因此，我们的假设（√2是有理数）是错误的。9. 由此得出结论，√2是无理数。