联立解微分方程的计算公式

2024-01-20 05:58:37 173次

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以下是联立解微分方程的计算公式，微分方程通解公式：y=(x-2)³C(x-2)(C是积分常数)。

形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性指的是方程简化后的每一项关于y、y'的次数为0或1。微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。

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两方程相减：

x'-y'-x+y-2y+2x=0即x'-y'+x-y=0令h=x-y, 则h'+h=0,得dh/dt=-h, dy/h=-dt,得h=Ce^(-t)当t=0时，x=2,y=4,h(0)=2-4=-2,则得C=-2即x-y=-2e^(-t)即y=x+2e^(-t)代入方程1得：x'-x-2x-4e^(-t)=t得：x'-3x=4e^(-t)+t特征根为3，通解为C1e^(3t),设特解x*=ae^(-t)+bt+c代入得：-ae^(-t)+b-3ae^(-t)-3bt-3c=4e^(-t)+t得：-2a=4,-3b=1, b-3c=0解得：a=-2, b=-1/3, c=-1/9即x=C1e^(3t)-2e^(-t)-t/3-1/9当t=0时，得x=C1-2-1/9=2,故C1=37/9因此x=37/9e^(3t)-2e^(-t)-t/3-1/9y=x+2e^(-t)=37/9e^(3t)-t/3-1/9

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