单摆周期公式是怎么推导的

2024-01-15 02:53:23 102次

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2024-01-15 02:53:23

单摆的周期公式是 T=2π√(L/g)证明：摆球的摆动轨迹是一个圆弧，设摆角(摆球偏离竖直方向的角度)为θ，则摆球的重力mg沿此圆弧的切线方向的分力为mgsinθ，设摆球偏离平衡位置的位移为x、摆长为l，则当摆角很小时,可以认为sinθ=x/l.。

所以，单摆的回复力为F=-mgx/l。对于系统而言,m、g、l均为定值，故可认为k=mg/l，则F=-kx。因此在单摆很小的情况下，单摆做简谐运动。将k=mg/l代入ω=√(k/m)可得ω=√(g/l)，由T=2π/ω可得单摆周期公式T=2π√(l/g)弹簧振子F=-kxa=d²x/dt²=-(k/m)x=-ω²x ω=√(k/m)d²x/dt²+ω²x=0解微分方程得：x=Acos(ωt+φ)ω=2π/TT=2π/ω=2π√(m/k)单摆：F切=ma=-mgsinθ a=ld²θ/dt²ma=mld²θ/dt²=-mgsinθd²θ/dt²+(g/l)sinθ=0θ<

5° sinθ≈θ

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