推导如下:
设三元函数f(x,y,z)在区域v内具有一阶连续偏导数,将v分成以原点为心,以有向线段p为半径的n个互不重叠的球面域s1,s2,…,sn,则在每个球面域上,f(x,y,z)可以表示为f(ρcosθ,ρsinθ,φ)的形式,其中0≤θ
三重积分公式推导,在线求解答
推导如下:
设三元函数f(x,y,z)在区域v内具有一阶连续偏导数,将v分成以原点为心,以有向线段p为半径的n个互不重叠的球面域s1,s2,…,sn,则在每个球面域上,f(x,y,z)可以表示为f(ρcosθ,ρsinθ,φ)的形式,其中0≤θ
∵x=rsinφcosθ,y=rsinφsinθ,z=rcosφ│αx/αr αx/αφ αx/αθ│ │sinφcosθ rcosφcosθ -rsinφsinθ │∴α(x,y,z)/α(r,φ,θ)=│αy/αr αy/αφ αy/αθ│=│sinφsinθ rcosφsinθ rsinφcosθ│=r²sinφ│αz/αr αz/αφ αz/αθ│ │cosφ -rsinθ 0 │∵dxdydz=│α(x,y,z)/α(r,φ,θ)│drdφdθ=r²sinφdrdφdθ∴∫∫∫f(x,y,z)dxdydz=∫∫∫F(r,φ,θ)r²sinφdrdφdθ.