转动惯量积分公式的推导需要使用积分计算的知识和三维数学知识。
以下是简单的推导步骤：
1. 从几何角度考虑物体的旋转，我们可以将物体看作由无数个微小粒子组成的。每个微小粒子都有质量、距离轴的距离和速度。因此，我们将物体的转动惯量定义为物体的每个微小粒子质量与其距离轴的距离平方的乘积的总和。
2. 由于物体是由无数个微小粒子组成的，因此我们需要将每个微小粒子的转动惯量相加才能得到整个物体的转动惯量。
3. 为了将微小粒子的转动惯量相加，我们可以使用积分。根据上述定义，物体的转动惯量可以表示为：$$I=\\int r^2 dm$$其中，$r$ 表示微小粒子距离轴的距离，$dm$ 表示微小粒子的质量元素。
4. 现在我们需要找到 $r$ 和 $dm$ 的表达式。假设物体可以表示为三维空间中的一系列点 $(x,y,z)$，则微小粒子可以表示为一个体积元素 $dV$。微小粒子的质量可以表示为：$$dm=\\rho dV$$其中，$\\rho$ 表示物体的密度。
5. 对于一个微小体积元素 $dV=(dx,dy,dz)$，其距离轴的距离可以用三维勾股定理表示为：$$r=\\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$
6. 将上述表达式带入转动惯量的积分公式中，得到：$$I=\\int_{\ ext{体积}} \\rho(x,y,z)r^2 dV$$7. 最终，我们得到了物体的转动惯量积分公式。需要注意的是，这个公式只对于连续分布的物体成立，对于离散分布的物体，需要将每个微小粒子的转动惯量相加才能得到整个物体的转动惯量。
