问x减去sinx的极限为什么是1减去cosx

因为lim(x→0)sinx/x=1(見微分学两个重要的极限，故无穷小lim‘(x→0)与lim(x→0)x是同阶无穷小，即lim(x→0)(x一sinx)=0。而设f(x)=1一cosx)，它是一个连续函数，因此lim(x→0)(1一cox)=1一1=0。根据以上分析就有lim(x→0)(x一sinx)与lim(x→0)(1一cosx)都等亍0，故二者相等。

当x→0时sinx^n→0,cosx→1,(sinx)^m→0，故sinx^n/(sinx)^m为0/0型，用洛必达法则

有：lim[sinx^n/(sinx)^m](x→0)=lim(sinx^n)'/[(sinx)^m]'(x→0)

=nx^(n-1)cosx/[m(sinx)^m-1]cosx=nx^(n-1)/m(sinx)^(m-1)连续用洛必达法则

=n(n-1)x^(n-2)/m(m-1)(sinx)^(m-2)

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当n＜m时，lim[sinx^n/(sinx)^m](x→0)=0；

当n=m时，lim[sinx^n/(sinx)^m](x→0)=n!/m!=1;

当n＞m时，limsinx^n/(sinx)^m

x不存在.

它们不是等价无穷小！商的极限根本不是1！

2、x 与 sinx 的差等于 x³/6 + o(x^5)；

1 与 cosx 的差等于 x²/2 + o(x⁴)；

( x - sinx )/( 1 - cosx )的极限是0！