双曲线的渐近线方程是怎么推的

2024-01-21 16:25:52 268次

问题描述：

双曲线的渐近线方程是怎么推的求高手给解答

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2024-01-21 16:25:52

双曲线的渐近线方程：y=±(b/a)x（当焦点在x轴上），y=±(a/b)x (焦点在y轴上），或令双曲线标准方程x²/a²-y²/b²=1中的1为零，即得渐近线方程。

焦点坐标、渐近线方程

c²＝a²＋b²

焦点坐标（-c,0）,(c,0)

方程 y²/a²-x²/b²=1(a＞0,b＞0)

c²＝a²＋b²

焦点坐标（0,c）,(0,-c)

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2024-01-21 16:25:52

推导如下：

假设x^2/a^2-y^2/b^2=1。

整理得y^2=b^2(x^2-a^2)/a^2，两边求导并取绝对值，得：

|y'|=|(b/a)*(x/√(x^2-a^2))|=|(b/a)*(1/√(1-(a^2/x^2))|（把y的方程代入）。

当x趋于无穷（x -> ∞），lim|y'|=b/a。

所以渐近线的斜率为±b/a。

即渐近线方程为y=±bx/a。

扩展资料：

双曲线性质

(1)范围：|x|≥a,y∈R。

(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称。

(3)顶点：两个顶点A1(-a,0),A2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a，虚轴长为2b，且c2=a2+b2。与椭圆不同。

(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y=±(b/a)x（当焦点在x轴上），y=±(a/b)x (焦点在y轴上）或令双曲线，x^2/a^2-y^2/b^2 =1中的1为零即得渐近线方程.。

(5)离心率e>1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔。

(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x^2-y^2=C其中C≠0,它的离心率e=c/a=√2。

(7)共轭双曲线：方程 x^2/a^2-y^2/b^2=1与x^2/a^2-y^2/b^2=-1 表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注重方程的表达形式。