空间向量共线定理

2024-01-22 02:25:49 260次

问题描述：

空间向量共线定理求高手给解答

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空间向量的基本概念

1.空间向量的概念：

模长：向量的大小叫做向量的模，a的模长记作￨a￨

备注：文中加粗的小写字母均代表向量。

运算法则：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法符合三角形法则跟平行四边形法则

运算率：

加法交换律：a+b=b+a

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共线向量基本定理，数学术语。共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b ，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。共线向量基本定理为如果a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λa。

中文名

共线向量基本定理

别名

向量共线定理

表达式

b=λa

共线向量基本定理

如果a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λa。

证明：

1）充分性：对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使b=λa，那么由实数与向量的积的定义知，向量a与b共线。

2）必要性：已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的m倍，即 ∣b∣=m∣a∣。那么当向量a与b同方向时，令 λ=m，有b=λa，当向量a与b反方向时，令 λ=-m，有b=λa。如果b=0，那么λ=0。

3）唯一性：如果b=λa=μa，那么 (λ-μ)a=0。但因a≠0，所以 λ=μ。

证毕。