求函数的值域是高中数学的难点,它没有固定的方法和模式,常用的方法有:
(1)直接法——从自变量x的范围出发,推出y=f(x)的取值范围.
(3)反函数法——利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过求反函数的定义域,得到原函数的值域.形如y=(cx+d)/(ax+b) (a ≠0)的函数的值域,均可使用反函数法.此外,这种类形的函数值域也可使用“分离常数法”求解.
(4)判别式法——把函数转化成关于二次方程F(x,y)=0,通过方程有实数根,判别式△≥0,从而求得原函数的值域,形如 y=(a1x²+b1x+c1)/(a2x²+b2x+c2) (a1,a2不同时为0)的函数的值域常用此法求解. 注意事项:
②分子、分母没有公因式.
(5)换元法——运用代数或三角代换,将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域,形如y=ax+b± √(cx+d) (a、b、c、d均为常数,且a ≠0)的函数常用此法求解.
(6)不等式法——利用基本不等式:a+b≥2√ab(a、b ∈R+(正实数))求函数的值域,用不等式法求值域时,要注意均值不等式的使用条件“一正,二定,三相等”.