怎么把振动方程转化为波动方程

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怎么把振动方程转化为波动方程求高手给解答

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首先你得知道波传播的速度,因为振动速度和波传播的速度是不一样的,二者之间没有任何关系。

知道了波的传播速度之后,确定原点,确定初相位记为w0。波速*振动周期=波长记为x,振动方程的最大位移是波的H振幅记为A则波的方程可以写成Asin(nx+w0)波动方程的本质是振动方程,形式上自然一样,他们的区别就在于,振动方程描述的是一个质点在任意时刻偏离平衡位置的位移,而波动方程描述的是任意一个质点在任意时刻偏离平衡位置的位移,这个任意时刻用变量t来表示,任意位置用变量x来表示,求解方法完全是求解振动方程的方法,首先确定一个参考点,一般选择坐标原点,根据初始条件写出它的振动方程,然后在右侧任选一点,坐标为x,这一点的振动方程和原点的振动方程对比,振幅一样,角频率一样,唯一不一样的是初相位,而相位差可以根据这两个点的距离来确定,即相位差等于距离除以波长再乘以2PI(圆周率),同时,沿着波的传播方向相位越来越小。记住,波动方程就是振动方程。

其他答案

关于这个问题,一般而言,振动方程可以通过对其进行一次或多次空间导数的操作,转化为波动方程。具体而言,对于一维情况下的振动方程:

$$\\frac{\\partial^2 u}{\\partial t^2}=c^2\\frac{\\partial^2 u}{\\partial x^2}$$

其中 $u=u(x,t)$ 表示振动的位移,$c$ 表示波速。我们可以对它进行一次空间导数的操作,得到:

$$\\frac{\\partial^2}{\\partial x^2}\\left(\\frac{\\partial^2 u}{\\partial t^2}\\right)=c^2\\frac{\\partial^4 u}{\\partial x^2\\partial t^2}$$

然后,我们可以使用混合偏导数的方法,将 $\\frac{\\partial^4 u}{\\partial x^2\\partial t^2}$ 转化为 $\\frac{\\partial^2}{\\partial t^2}\\left(\\frac{\\partial^2 u}{\\partial x^2}\\right)$:

$$\\frac{\\partial^2}{\\partial x^2}\\left(\\frac{\\partial^2 u}{\\partial t^2}\\right)=c^2\\frac{\\partial^2}{\\partial t^2}\\left(\\frac{\\partial^2 u}{\\partial x^2}\\right)$$

于是我们就得到了一维情况下的波动方程:

$$\\frac{\\partial^2 u}{\\partial t^2}=c^2\\frac{\\partial^2 u}{\\partial x^2}$$

对于二维或三维情况下的振动方程,也可以通过类似的方法将其转化为波动方程。

其他答案

关于这个问题,将振动方程中的位移函数 $u(x,t)$ 替换为波动函数 $y(x,t)$,即 $u(x,t) \\rightarrow y(x,t)$。

然后,将振动方程中的一阶导数替换为二阶导数,即 $u_t(x,t) \\rightarrow y_{tt}(x,t)$,$u_x(x,t) \\rightarrow y_{xx}(x,t)$。

最后,将振动方程中的常数 $c$ 替换为波速 $v$,即 $c \\rightarrow v$。这样就得到了波动方程 $y_{tt}(x,t) = v^2y_{xx}(x,t)$。

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