1. 复数的定义:形如$a+bi$($i$为虚数单位,$a,b$为实数)的数称为复数,其中$a$称为复数的实部,$b$称为复数的虚部,用$\\mathrm{Re}(z)$表示实部,用$\\mathrm{Im}(z)$表示虚部,即$z=a+bi=\\mathrm{Re}(z)+\\mathrm{Im}(z)i$。
2. 纯虚数的定义:虚部为非零数的复数称为纯虚数。
3. 共轭复数的定义:复数$z=a+bi$的共轭复数定义为$\\bar{z}=a-bi$,其中$\\bar{z}$表示$z$的共轭复数。
4. 模长的定义:复数$z=a+bi$的模长定义为$|z|=\\sqrt{a^2+b^2}$。
5. 幅角的定义:复数$z=a+bi$在复平面上对应的角度$\ heta$称为幅角,其中$\ heta$满足$\\sin{\ heta}=\\dfrac{b}{|z|}$,$\\cos{\ heta}=\\dfrac{a}{|z|}$。
6. 欧拉公式:$e^{ix}=\\cos{x}+i\\sin{x}$,其中$x$为实数。
7. 极坐标形式:对于一个复数$z$,可以将其表示为$z=r(\\cos{\ heta}+i\\sin{\ heta})$的形式,其中$r=|z|$为模长,$\ heta$为幅角。8. 复数的加法和减法:设$z_1=a_1+b_1i,z_2=a_2+b_2i$,则$z_1+z_2=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i$,$z_1-z_2=(a_1-a_2)+(b_1-b_2)i$。9. 复数的乘法:设$z_1=a_1+b_1i,z_2=a_2+b_2i$,则$z_1z_2=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i$。10. 复数的除法:设$z_1=a_1+b_1i,z_2=a_2+b_2i$,则$\\dfrac{z_1}{z_2}=\\dfrac{a_1a_2+b_1b_2}{a_2^2+b_2^2}+\\dfrac{a_2b_1-a_1b_2}{a_2^2+b_2^2}i$。11. 直角坐标系下的复数表示:实部为$x$,虚部为$y$的复数表示为$x+yi$。1
2. 极坐标系下的复数表示:模长为$r$,幅角为$\ heta$的复数表示为$r(\\cos{\ heta}+i\\sin{\ heta})$。