对于方程 $a^2+b^2=1997$，我们可以通过枚举的方式来求解 $a$ 和 $b$ 的整数解。
首先，我们可以发现 $1997$ 是一个质数，因此 $a$ 和 $b$ 均为奇数或偶数。但是，如果 $a$ 和 $b$ 均为奇数，那么 $a^2$ 和 $b^2$ 的余数均为 $1$，因此 $a^2+b^2$ 的余数为 $2$，与 $1997$ 的余数为 $1$ 不符。因此，$a$ 和 $b$ 必须有一个为偶数，另一个为奇数。我们可以假设 $a=2m$，$b=2n+1$，其中 $m$ 和 $n$ 为整数。代入原方程得：$$(2m)^2+(2n+1)^2=4m^2+4n^2+4n+1=1997$$化简得：$$m^2+n^2+n=499$$因此，我们可以枚举 $m$ 和 $n$ 的取值，满足上述条件，并计算出相应的 $a$ 和 $b$ 的值。但是，由于 $m$ 和 $n$ 的取值范围很大，需要进行较多的计算，因此这种方法并不是很高效。更快捷的方法是，通过数学方法可以证明，如果一个自然数可以表示成两个平方数的和，那么这个自然数的所有质因数的形式均为 $4k+1$，其中 $k$ 为整数。因此，我们可以将 $1997$ 分解质因数，得到：$$1997=17\ imes 23\ imes 2^2+1$$因此，$1997$ 的所有质因数的形式均为 $4k+1$。根据勾股定理，我们知道，如果 $a$ 和 $b$ 的值是整数，那么 $a^2+b^2$ 的值也一定是整数。因此，我们可以得到，方程 $a^2+b^2=1997$ 存在整数解。综上所述，方程 $a^2+b^2=1997$ 的整数解为：$$a=32,\\ b=19$$或者$$a=-32,\\ b=-19$$或者$$a=19,\\ b=-32$$或者$$a=-19,\\ b=32$$
