两个不相等的多元微分方程的通解

2024-11-21 14:51:22 265次

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2024-11-21 14:51:22

标准形式 y″+py′+qy=0特征方程 r^2+pr+q=0通解1.两个不相等的实根：y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)2.两根相等的实根：y=(C1+C2x)e^(r1x)3.共轭复根r=α+iβ：y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)标准形式 y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)解法通解=非齐次方程特解+齐次方程通解对二阶常系数线性非齐次微分方程形式ay''+by'+cy=p(x) 的特解y*具有形式其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特征根、是单特征根或二重特征根（上文有提），依次取0,1或

2. 将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而得特解y*。

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要找到两个不相等的多元微分方程的通解，需要给出至少两个不同的微分方程。以下是两个示例：第一个微分方程：$$\\begin{cases}\\frac{dx}{dt} = y \\\\\\frac{dy}{dt} = -x\\end{cases}$$它的通解为：$$\\begin{cases}x(t) = r\\cos(t+\\phi) \\\\y(t) = -r\\sin(t+\\phi)\\end{cases}$$其中，$r$为任意常数，$\\phi$为任意相位角。第二个微分方程：$$\\begin{cases}\\frac{dx}{dt} = xy \\\\\\frac{dy}{dt} = -y^2\\end{cases}$$它的通解为：$$\\begin{cases}x(t) = \\frac{1}{c_1}e^t \\\\y(t) = -\\frac{1}{t+c_2}\\end{cases}$$其中，$c_1$和$c_2$为任意常数。

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