120度半角模型是三维空间中一种特殊的几何结构，它由全等的四面体组成，每一个四面体作为其它四面体的公共边进行连接，其内角为120度。
下面给出120度半角模型的全部结论及其证明：
1. 每个四面体的顶角为$109.47^{\\circ}$证明：我们考虑一个四面体ABCD，当我们视$ \ riangle BCD $和$ \ riangle ACD $作为邻面时，这两个面沿着BC、CD和AC都平等，所以其内角$ \\angle CAD = \\angle CBD = 60^{\\circ}$。类似地，当我们视$ \ riangle ABD $和$ \ riangle ACD $为邻面时，同样有$ \\angle ABD = \\angle ACD = 60^{\\circ} $，这意味着$ \\angle BAC = \\angle BAD = \\angle BCD = 120^{\\circ} $。然后，只需要应用四面体顶角定理$ \\angle DAB = 180^{\\circ} - (\\angle ABD + \\angle ADB + \\angle BDA) $，我们可以得到 $ \\angle DAB = \\angle CAD = \\angle CBD = 60^{\\circ} $，从而证明了此结论。
2. 四面体的符号角为$ 70.53^{\\circ} $证明：由于顶角为$ 109.47^{\\circ} $，我们可以使用余弦定理求解四面体的符号角，即$ \\cos^{-1}(\\cos(109.47^{\\circ}) / 3) $，计算结果为$ 70.53^{\\circ} $。
3. 每两个相邻的四面体之间的夹角为$109.47^{\\circ}$证明： 考虑夹角所在的两个面（分别标记、ABC和ACD）。AB和AD都过点A，所以 $\\angle ABD + \\angle ADC = 180^{\\circ}$。但是四面体内部存在着同等的角度，由于四面体中总共有三个顶点，所以我们可以得到$60^{\\circ}$，$60^{\\circ}$，$60^{\\circ}$的三角形，进一步得到 $\\angle ABD = \\angle ADC = 60^{\\circ}$。 另外，由$ \ riangle ABD $和$ \ riangle ACD $共享的$ AD $可得$ \\angle BAC = 120^{\\circ}$，所以 $\\angle BAC = \\angle ABD + \\angle ADC = 120^{\\circ}$，因此两个相邻的四面体之间的夹角为 $109.47^{\\circ}$。这些是120度半角模型的全部结论及其证明。它是一种非常有趣的三维几何结构，具有很高的对称性和美学魅力。
