平行线的证明过程可以用欧几里得几何中的公设来进行推导。
以下是一个常见的证明方法：公设1：通过一点外一直线上，有且只有一条与该直线平行的直线。公设2：如果两条直线与第三条直线分别交于两个角相等的内角，则这两条直线在第三条直线的同侧时，它们不会相交，在第三条直线的异侧时，它们必定相交。现在假设有两条平行线l和m，以及一条直线n，其中n与l相交于点A，n与m相交于点B。我们需要证明A和B之间的线段AB与l、m平行。证明过程如下：
1. 从B点作一条直线BC与l相交于点D；
2. 根据公设1，因为l和m平行，所以有BE//l；
3. 再根据公设2，因为∠BAC=∠CBD，而n与l的交点为A，所以有BD/；
4. 根据平行线的定义，因为BD/，BE//l，所以有DE//m；
5. 因为DE//m，又因为BD/，所以有∠ABD=∠DBC；
6. 因为∠BAC=∠CBD，∠ABD=∠DBC，所以有∠BAC=∠ABD；7. 因为两条角度相等的直线AB和BC之间的交点C在l上，所以AB与l平行；8. 同理，可以证明AB与m平行。从上述证明过程可知，两条平行线间的距离是恒定的，因此任何一段与这两条线段平行的线段的长度都相等。
