用法当题目为一个轮换对称式时,可用轮换对称法进行分解。
(轮换对称式:交换这些式子中的任意两个字母,式子不变,另外,两个轮换对称式的和、差、积、商仍然是轮换对称式。)解题步骤(1)试根把下列5个等式分别带入原式,找出令原式等于0的那个等式。
1、 x=02、 x=y3、 x=-y4、 x=y+z5、 x=-y-z(2)轮换1、若x=0使原式=0 原式必有因式xyz2、若x=y使原式=0 原式必有因式(x-y)(y-z)(z-x)3、若x=-y使原式=0 原式必有因式(x+y)(y+z)(z+x)4、若x=y+z使原式=0 原式必有因式(x-y-z)(y-z-x)(z-x-y)5、若x=-y-z使原式=0 原式必有因式(x+y+z)(3)对比次数用原式的次数减去必有因式的次数,然后再乘上差的次数的对应的式子。(差几次添几次)须添上的轮换对称式:1次:x+y+z2次:x2+y2+z2、xy+yz+zx3次:x3+y3+z3、x2y+y2z+z2x、xy2+yz2+zx2、xyz(4)根据次数待定系数在需要乘上的式子前加上字母,待定系数。
(5)算出待定的系数用特值法及恒等式性质算出待定的系数。
(6)得出答案进行检验,写出答案。例题分解因式:x2(y-z)3 +y2(z-x)3 +z2(x-y)3解: x=y原式=0必有因式(x-y)(y-z)(z-x)原式为五次式,(x-y)(y-z)(z-x)为三次式,则需要补上二次式。设补上a(x2+y2+z2)+b(xy+yz+zx)原式=(x-y)(y-z)(z-x)[a(x2+y2+z2)+b(xy+yz+zx)]特值法:令x=1 y=2 z=3x2(y-z)3 +y2(z-x)3 +z2(x-y)3=(x-y)(y-z)(z-x)[a(x2+y2+z2)+b(xy+yz+zx)]-1+32-9=(-1)·(-1)·2·(14a+11b)22=28a+22b14a+11b=11令x=3 y=2 z=4x2(y-z)3 +y2(z-x)3 +z2(x-y)3=(x-y)(y-z)(z-x)[a(x2+y2+z2)+b(xy+yz+zx)]-72+4+16=1·(-2)·1·(29a+26b)-52=-58a-52b29a+26b=2614a+11b=1129a+26b=26解得a=0b=1原式=(x-y)(y-z)(z-x)(xy+yz+zx)