点线距离向量公式推导

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点线距离向量公式推导急求答案,帮忙回答下

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以下是公式的推导过程:假设直线L上有一点A,直线的方向向量为N。

点P在直线L上的投影点为B,将向量AB记为向量v。根据向量的投影公式,向量v在方向向量N上的投影为:proj<sub>N</sub>v = |v|cosθ其中,θ为向量v与方向向量N的夹角。又因为v与N垂直,所以cosθ=0,因此投影长度为0。知道投影长度为0是因为v是从A点出发,所以proj<sub>N</sub>v就是向量AB与方向向量N共线并相反方向的向量。则向量D的大小等于向量PB与向量proj<sub>N</sub>v的长度之积,即:|D| = |PB|*|proj<sub>N</sub>v|向量PB可以表示为向量v减去向量PA:PB = v - PA因此,|PB| = |v - PA|又因为投影长度为0,向量proj<sub>N</sub>v就是向量AB与方向向量N共线并相反方向的向量,因此:proj<sub>N</sub>v = -|AB|代入原公式,得到|D| = |v - PA|*|AB|将向量AB表示为A到B的向量,则AB = B - A因此,|AB| = |B - A|现在问题转化为了如何求向量PA和A到B的向量的内积。根据向量内积的定义,有:PA·AB = |PA|*|AB|*cosθ其中,θ为PA和AB之间的夹角。由于向量PA与向量AB在直线L上垂直,所以cosθ=0,因此:PA·AB = 0代入原公式,得到:|D| = |v - PA|*|AB| = |v - PA|*|AB|*cosθ = 0因此,向量D的大小为0,即点P到直线L的距离为0,即点P在直线L上。

其他答案

法一,若在点与直线确定平面内找到向量n与直线向量垂直,则d=丨PA点乘n丨/Ⅰnl(其中A是直线上任一点,p为已知点)法二,若找不到n,分二步先求向量AP与直线向量夹角余弦值再换成正弦值,d为丨PA丨×正弦值

其他答案

证明:设点P,直线AB,在AB上任取一点C,连接PC,直线AB的法向量为n,向量AB与n的夹角为a,P到直线AB的距离为H H=|PC| |cos(PC,n)| =||PC| PC点乘n/(|PC|*|n|)| =|PC点乘n/|n|| (取绝对值是考虑距离恒为正数)

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