狭义相对论的公式经典推导过程如下:原理假设:狭义相对论基于两个原理假设,即等效原理和光速不变原理。
其中,等效原理指任何惯性参考系中,自由下落的物体的运动状态都是一样的;光速不变原理指在任何惯性参考系中,光速恒定且与观察者无关。事件和间隔:在时空中,任意两个事件之间的间隔可以表示为s² = c²t² - x²,其中c是光速,t是时间,x是空间坐标差。这个间隔被称为闵可夫斯基度规(Minkowski metric)。变换公式:将一个参考系S'沿着x轴以速度v运动,距离S点的距离为x,这个参考系的时间t'和空间坐标x'与S参考系的时间t和空间坐标x之间存在以下线性变换关系:t' = γ(t - vx/c²),x' = γ(x - vt)其中γ是洛伦兹因子,定义为γ = 1/√(1-v²/c²)。立方体问题:考虑两个事件发生在同一地点,但在不同时间的情况。假设有一辆长为L的火车在参考系S'中以速度v通过参考系S,同时火车上有一束光从火车前端发出,向后穿过一段长度为L的立方体,最后到达后端。我们要求在参考系S中,这束光从前端发出到后端到达所需的时间。根据变换公式,立方体长度在S参考系中变为:L' = γ(L - vt)根据等效原理,当光在立方体中进行反射时,它的速度必须保持不变。因此,在S参考系中,从前端发出的光线需要先走一段路径L'/c才能反射到后端,再走回来又需要走一段L'/c。因此,整个过程所需时间为:Δt = L'/c + L'/c = 2γL/c(1 - v²/c²)狭义相对论公式的推导:考虑一个简单的例子,一个物体在S参考系静止,质量为m。当它在S'参考系中以速度v运动时,根据变换公式,它的质量变为:m' = m/γ现在考虑能量,根据等效原理,物体的能量应该取决于它的质量和速度。因此,我们可以定义物体的能量为E = mc²。当物体在S'参考系中以速度v运动时,根据变换公式,它的能量变为:E' = m'c² = m/γc²进一步化简可得:E' = γmc²当速度v趋近于光速c时,γ趋近于无穷大,因此能量E'也趋近于无穷大。这说明在狭义相对论中,质量和能量并不是分开的,而是彼此相互转化的。最终推导出的著名公式为E=mc²,其中E表示物体的能量,m表示物体的质量,c表示光速。这个公式表明,物体的质量与其能量之间存在一种等价关系,即质能关系。